| tzofeolam | Дата: Вторник, 31.05.2016, 21:07 | Сообщение # 1 |
Группа: Проверенные
Сообщений: 143
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
|
Исходная лекция рава Гитика с иллюстрацией того, как каждый может получить всё
В лекции обсуждаеются бесконечности. Бесконечность натуральных чисел (счётная бесконечность), бесконечность действительных чисел. Я решил показать, к каким противоречиям это может привести.
Для начала рассмотрим сумму степеней двойки
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
Чему равна такая сумма? На первый взгляд она равна бесконечности. Но давайте проделаем с этой суммой некоторые операции, подобные тем, какие производил рав Гитик с постояльцами гостиницы с бесконечным числов номеров, все из которых заняты.
1. Умножим сумму на один, ведь это её не изменит
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = 1 * (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...)
2. Представим этот множитель как 2 - 1
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = 1 * (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) = (2 - 1) * (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...)
3. Произведём умножения
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = 1 * (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) = (2 - 1) * (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) = (2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...)
4. Очевидно, что для каждого числа в левых скобках есть такое же число со знаком минус в правых скобках, но для -1 справа нет противоположной пары
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = 1 * (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) = (2 - 1) * (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) = (2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...) = -1 + 2 - 2 + 4 - 4 + 16 - 16 + 32 - 32 + ... = -1 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... = -1
Результат: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = -1
Другой способ
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
s = 1 + 2 * (1 + 2 + 4 + 8 + ...)
s = 1 + 2 * s
s = -1
Если вернуться к бесконечной гостинице рава Гитика и представить, что каждый постоялец заплатил по формуле 2 ^ n где n - занимаемый номер начиная с нуля, ^ - возведение в степень, получится, что рав Гитик не только ничего не заработает, но ещё и будет должен один, скажем шекель, непонятно кому. Более того, если все постояльцы заплатят в два раза больше, тоесть (2 + 4 + 8 + 16 + ...) то долг рава Гитика лишь удвоится.
Рассмотрим другую сумму 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + .... чему она равна? Единиц бесконечно много и группировать их можно как угодно. Например так
1 + (1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + .... = 1 + 2 + 4 + 8 + ... = -1
Но можно и по-другому
(1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + .... = 2 + 4 + 8 + ... = -2
Но сумма не может одновременно равняться двум разным числам. Противоречие. Значит где-то есть ошибка. Ошибка в том, что бесконечность является неопределённостью. Её не существует. Вернее она существует лишь у нас в голове как некая абстракция. С точки зрения математики мы пытались суммировать расходящиеся ряды, чего делать нельзя и вот результат.
Так какую бесконечность можно получить в суккат шалом рава Деслера? И зачем нам бесконечность? Представте, что мы живём в мире, в котором между любыми двумя точками пространства существует бесконечное количество точек. Иными словами, представте, что наш мир перестал состоять из квантов, что нет квантового перехода и для преодоления любого сколь угодно малого растояния нам приходится преодолевать бесконечное количество ещё более меньших растояний. Аналогичным вопросом задавался греческий философ Зенон в своей знаменитой апории Дихотомия. Вывод, сделанный ещё Зеноном, в бесквантовом мире движение невозможно. Невозможно посмотреть пятиминутный фильм с бесконечным количеством кадром.
Однако все эти бесконечности имеют мощность алеф-0. В своей лекции рав Гитик утверждает, что качественный переход происходит при переходе к трансцендентным числам. Вмести со всеми предыдущими типами чисел (алгебраические, рациональные, натуральные) они составляют рад действительных или реальных (real) чисел. И вот |R| строго больше алеф-0, причём она может быть сколь угодно больше алеф-0. Но тут возникает противоречие. Ведь ещё Кантор доказал, что мощность множества всех подмножеств данного множества строго больше мощности данного множества, тоесть |A(P)| > |P|, где P - множество, а A(P) - множество всех подмножеств P. Причём Кантор доказал это для бесконечных множеств P. Так как же может быть, чтобы что-то большее было одновременно ещё и не большим? Ведь если |R| сколь угодно большое, то |P( R )| > |R| не выполняется. Опять противоречие, опять скрытая ошибка.
А если все трансцендентные числа между 0 и 1 дадут нам по шекелю, то наш долг достигнет бесконечности?
Сообщение отредактировал tzofeolam - Среда, 01.06.2016, 01:08 |
|
|
| |
| |
